非線形回帰分析　-　14

指数関数のパラメータの推定

a₀，をシフト

\(\Large \displaystyle y_i = a_0 \ Exp (- a_1 x_i) \)

・残差平方和

推定値からの残差

\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -\hat{a_0} \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) \right]^2 \)

a₀をシフトさせたときの，推定値からの残差

\(\Large \displaystyle Se = \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -a_0 \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) \right]^2 \)

であり，a₀を，δ，だけシフトさせて，固定し，その際の a₁の推定値をソルバーで推定しました．

dS，を見ていただけるとわかるように，推定値，Seが一番小さく，ほぼ左右対称に増加していることがわかります．

グラフ化すると，

のように，二乗+定数できれいに近似できます．

二次曲線の近似においてもきれいに近似でき，

\(\Large \displaystyle y = 0.2698 + 1.0226 \ \delta^2 \)

ここで，分散値は，

・分散

\(\Large \displaystyle Ve = \frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n} \left[ y_i -\hat{a_0} \ Exp(- \hat{a_1} \ x_i) \right]^2 = \frac{Se}{n-2} = \frac{0.2698}{6-2} = 0.067454 \)

であり（a₀，a₁，の二つのパラメータが2つあるので，自由度は，n-2），

\(\Large \displaystyle 1.0226 \ \delta^2 = 0.067454 \)

となるδがSEとなるので，

\(\Large \displaystyle \delta^2 = \frac{ 0.067454}{1.0226} = 0.06897 \)

\(\Large \displaystyle SE_{a_0} = \sqrt{\delta^2} =\color{red}{0.2568} \)

と推定できます．

・Rによる推定

Rでの近似を行ってみると，

プログラムは，

xx <- c(0,2,3,4,6,9)
yy <- c(10,4,2,1,0.5,0.1)
plot(xx,yy)
fm<-nls(yy~a0*exp(-a1*xx),start=c(a0=10,a1=0.5),trace=TRUE)
summary(fm)

で，結果は，

となり，Kyplotにおいても，

と同じ結果となり，今回の推定値と，ほぼ一致，します．

微妙に異なるのが気になりますが．．．．

「統計解析の初歩」，の「1.2　非線形最小２乗法の基本的な考え方」には，

δのずらした値0.5 を変えると結果は異なり、近似標準誤差の精度が変わる
統計パッケージにより、近似標準誤差の値は幾分異なる

とあります．ここで，”0.5”，がどこから出てきたかはわかりません．そもそも横軸（ｘ軸）の範囲に依存しちゃいますし．．

そこで，σをとる値（±での平均値）でどう推定値が変わるかを調べてみました．その結果が，

とどのδでもRなどの推定値より下回っていました．．．．謎です．．．

次に，指数関数の肩のパラメータ，a₁について，確認してましょう．